数的整除： 基本概念和符号： 整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。 常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”； 整除判断方法： 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 能被7整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 能被11整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 能被13整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 二年级下册数学思维训练题100道 四年级下册数学简便运算题600道 二年级数学题100道加减混合运算题 余数、同余与周期： 同余的定义： 若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。 已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。 同余的性质： 自身性：a≡a(mod m)； 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)； 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)； 和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； 相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)； 乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)； 同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)； 关于乘方的预备知识： 若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b 若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 被3、9、11除后的余数特征： 一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）； 一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)； 费尔马小定理： 如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。 分数与百分数的应用： 基本概念与性质： 分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。 分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。 百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法： 逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。 对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。 量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。 替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。